函数f(x)=(1+x的平方)分之(ax+b)的定义域为(-1,1),对于任意x,都有f(-x)=-(x)且f(2 分之1)=5分之2

问题描述:

函数f(x)=(1+x的平方)分之(ax+b)的定义域为(-1,1),对于任意x,都有f(-x)=-(x)且f(2 分之1)=5分之2
(1)确定函数f(x)的解析式 (2)用定义证明f(x)在(-1,1)上的单调性 (3)解不等式f(t-1)+f(t)<0


1、f(x)=(ax+b)/(1+x^2)
因为:f(x)是奇函数,
所以:f(0)=b=0,即:f(x)=ax/(1+x^2).
又因为f(1/2)=2/5
所以:a(1/2)/(1+(1/2)^2)=2/5
即:a(1/2)/(1+1/4)=a(2/5)=2/5
所以:a=1
所以,所求解析式为:f(x)=x/(1+x^2).
2、设x1<x2,且x1,x2∈(-1,1)
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)
=[x2(1+x1^2)-x1(1+x2^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
显然,上式中分母>0,我们只需考查分子.
分子=x2+x2(x1^2)-x1-x1(x2^2)
=(x2-x1)-x1x2(x2-x1)
=(x2-x1)(1-x1x2)
因为x1,x2∈(-1,1),所以x1x2<1,即:1-x1x2>0
又因为x1<x2,所以x2-x1>0
所以:当x2>x1时,f(x2)>f(x1)
即:在(-1,1)定义域内,f(x)是增函数.
补充答案:
呵呵,楼主提出了第三问.那我就试试.
3、解不等式f(t-1)+f(t)<0
解法一:因为:f(x)=x/(1+x^2).
所以不等式变为:
(t-1)/(1+(t-1)^2)+t/(1+t^2)<0
[(t-1)(t^2+1)+t((t-1)^2+1)]/[(1+(t-1)^2)(1+t^2)]<0
因为分母>0,
所以(t-1)(t^2+1)+t((t-1)^2+1)<0
即:2t^3-3t^2+3t-1<0
t^3+(t-1)^3<0
t^3-(1-t)^3<0
因为t-1,t∈(-1,1),所以t∈(0,1).
所以上述不等式变为
t^3<(1-t)^3
t<1-t
2t<1
t<1/2
前面我们有t∈(0,1),
所以,不等式的解为:
0<t<1/2
解法二:因为f(x)是奇函数,即:f(-x)=-f(x)
所以不等式变为f(t-1)<f(-t)
又因为:f(x)=x/(1+x^2)
所以:(t-1)/(1+(t-1)^2)<-t/(1+t^2)
(t-1)(t^2+1)<-t((t-1)^2+1)
t^3-t^2+t-1<-t^3+2t^2-2t
t^3<-(t^3-3t^2-3t-1)
t^3<-(t-1)^3
t<-(t-1)
所以:t<1/2.
又因为:对于f(x),有x∈(-1,1).
所以:t-1,t∈(-1,1),即:t∈(0,1).
所以,不等式的解为:0<t<1/2
http://zhidao.baidu.com/question/38885517.html?si=4