如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证： （1）AP⊥MN； （2）平面MNP∥平面A1BD．
问题描述：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：
（1）AP⊥MN；
（2）平面MNP∥平面A1BD．
答
证明：（1）连接BC1、B1C，则B1C⊥BC1，BC1是AP在面BB1C1C上的射影．∴AP⊥B1C．
又B1C∥MN，∴AP⊥MN．
（2）连接B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，
∴PN∥B1D1．又B1D1∥BD，
∴PN∥BD．又PN不在平面A1BD上，
∴PN∥平面A1BD．
同理，MN∥平面A1BD．又PN∩MN=N，
∴平面PMN∥平面A1BD．