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在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=a3，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ=______．

分类: 作业答案 • 2022-04-24 20:25:45
问题描述：

在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=

a
3
，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ=______．

答

∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，MN⊂平面A1B1C1D1．
∴MN∥平面ABCD，又PQ=面PMN∩平面ABCD，
∴MN∥PQ．
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点
∴MN∥A1C1∥AC，
∴PQ∥AC，又AP=

a
3
，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，
∴CQ=
a
3
，从而DP=DQ=
2a
3
，
∴PQ=
 DQ2+DP2
=
 (
2a
3
)2+(
2a
3
)2
=
2
 2
3
a．
故答案为：
2
 2
3
a．
答案解析：由题设PQ在直角三角形PDQ中，故需要求出PD，QD的长度，用勾股定理在直角三角形PDQ中求PQ的长度．
考试点：棱柱的结构特征．
知识点：本题考查平面与平面平行的性质，是立体几何中面面平行的基本题型，本题要求灵活运用定理进行证明．

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