△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大内角为钝角， ①求最大角的余弦值； ②求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．
问题描述：
△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大内角为钝角，
①求最大角的余弦值；
②求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．
答
（1）设△ABC的三边a、b、c的长度分别为n-1、n、n+1（n∈N*且n＞1），
∵（n-1）+n＞n+1，∴n＞2，得n是大于3的整数
∵△ABC是钝角三角形，可得∠C为钝角，有cosC＜0，
由余弦定理得：（n+1）2=（n-1）2+n2-2n（n-1）•cosC＞（n-1）2+n2，
即（n-1）2+n2＜（n+1）2⇒n2-4n＜0⇒0＜n＜4，
因此，整数n的值为3，可得△ABC三边长分别为2，3，4．
∵cosC=
=
a2+b2-c2
2ab
=-4+9-16 2×2×3
1 4
∴最大角的余弦值为-
1 4
（2）由（1）得，最大角C的正弦为sinC=
=
1-cos2C
，
15
4
设夹角C的平行四边形两边分别为m、n，
∵m+n=4，∴mn≤(
)2=4，当且仅当m=n=2时，mn的最大值为4m+n 2
因此，平行四边形的面积S=mnsinC=
mn≤
15
4
×4=
15
4
15
∴当平行四边形两边都等于2时，夹角C的平行四边形面积最大值为
．
15