△ABC中,若已知三边为连续正整数,最大内角为钝角, ①求最大角的余弦值; ②求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.

问题描述:

△ABC中,若已知三边为连续正整数,最大内角为钝角,
①求最大角的余弦值;  
②求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.

(1)设△ABC的三边a、b、c的长度分别为n-1、n、n+1(n∈N*且n>1),
∵(n-1)+n>n+1,∴n>2,得n是大于3的整数
∵△ABC是钝角三角形,可得∠C为钝角,有cosC<0,
由余弦定理得:(n+1)2=(n-1)2+n2-2n(n-1)•cosC>(n-1)2+n2
即(n-1)2+n2<(n+1)2⇒n2-4n<0⇒0<n<4,
因此,整数n的值为3,可得△ABC三边长分别为2,3,4.
∵cosC=

a2+b2-c2
2ab
=
4+9-16
2×2×3
=-
1
4

∴最大角的余弦值为-
1
4

(2)由(1)得,最大角C的正弦为sinC=
1-cos2C
=
15
4

设夹角C的平行四边形两边分别为m、n,
∵m+n=4,∴mn≤(
m+n
2
)2
=4,当且仅当m=n=2时,mn的最大值为4
因此,平行四边形的面积S=mnsinC=
15
4
mn≤
15
4
×4=
15

∴当平行四边形两边都等于2时,夹角C的平行四边形面积最大值为
15