△ABC中,若已知三边为连续正整数,最大内角为钝角,①求最大角的余弦值;  ②求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.

问题描述:

△ABC中,若已知三边为连续正整数,最大内角为钝角,
①求最大角的余弦值;  
②求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.

(1)设△ABC的三边a、b、c的长度分别为n-1、n、n+1(n∈N*且n>1),
∵(n-1)+n>n+1,∴n>2,得n是大于3的整数
∵△ABC是钝角三角形,可得∠C为钝角,有cosC<0,
由余弦定理得:(n+1)2=(n-1)2+n2-2n(n-1)•cosC>(n-1)2+n2
即(n-1)2+n2<(n+1)2⇒n2-4n<0⇒0<n<4,
因此,整数n的值为3,可得△ABC三边长分别为2,3,4.
∵cosC=

a2+b2-c2
2ab
=
4+9-16
2×2×3
=-
1
4

∴最大角的余弦值为-
1
4

(2)由(1)得,最大角C的正弦为sinC=
1-cos2C
=
15
4

设夹角C的平行四边形两边分别为m、n,
∵m+n=4,∴mn≤(
m+n
2
)2
=4,当且仅当m=n=2时,mn的最大值为4
因此,平行四边形的面积S=mnsinC=
15
4
mn≤
15
4
×4=
15

∴当平行四边形两边都等于2时,夹角C的平行四边形面积最大值为
15

答案解析:(1)设△ABC的三边a、b、c的长度分别为n-1、n、n+1(n∈N*且n>1),根据两边之和大于第三边和C为钝角,建立不等式并解之可得2<n<4,因此n=3可得△ABC三边长分别为2,3,4.最后根据余弦定理即可算出最大角的余弦值;  
(2)由(1)得最大角是角C,利用同角三角函数的关系算出sinC=
15
4
,设平行四边形两边分别为m、n,可得它的面积为S=mnsinC=
15
4
mn,再根据m+n=4用基本不等式求最值,即可得到当且仅当m=n=2时平行四边形面积最大值为
15

考试点:余弦定理.
知识点:本题给出三边长为连续整数的三角形,且最大角为钝角时求最大角的余弦之值,并依此求一个平行四边形的面积最大值,着重考查了利用正余弦定理解三角形、用基本不等式求最值和平行四边形面积公式等知识,属于中档题.