高数二阶导证明问题

问题描述:

高数二阶导证明问题
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上二阶可导,f(0)=f(1)=0,且曲线y=f(x)与直线y=x当x∈(0,1)是有交点,证明:在(0,1)内至少存在一点ξ使得f''(ξ)

因为曲线y=f(x)与直线y=x当x∈(0,1)是有交点,即存在c∈(0,1),使得f(c)=c;
于是由微分中值定理有
f(c)-f(0)=cf'(ξ1);ξ1∈(0,c);得到f'(ξ1)=f(c)/c=1;
同样
f(1)-f(c)=(1-c)f'(ξ2);ξ2∈(c,1);得到f'(ξ2)=-f(c)/(1-c)=-c/(1-c)=1-1/(1-c)