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在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴

分类: 作业答案 • 2023-01-08 01:14:45
问题描述：

在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，设OD=t．

（1）求tan∠FOB的值；
（2）用含t的代数式表示△OAB的面积S；
（3）是否存在点B，使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似？若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．

答

（1）∵A（2，2），
∴∠AOB=45°，
∴CD=OD=DE=EF=t，
∴tan∠FOB=

t
2t
=
1
2
．（3分）
（2）∵CF∥OB，
∴△ACF∽△AOB，
∴
2
2
-
2
t
2
2
=
t
OB
．
∴OB=
2t
2-t
，
∴S△OAB=
2t
2-t
(0<t<2)．（4分）
（3）要使△BEF与△OFE相似，
∵∠FEO=∠FEB=90°，
∴只要
OE
EB
=
EF
EF
或
OE
EF
=
EF
EB
．
即：BE=2t或EB=
1
2
t，
①当BE=2t时，BO=4t，
∴
2t
2-t
=4t，
∴t1=0（舍去）或t2=
3
2
，
∴B（6，0）．（2分）
②当EB=
1
2
t时，
（ⅰ）当B在E的左侧时，

OB=OE-EB=
3
2
t，
∴
2t
2-t
=
3
2
t，
∴t1=0（舍去）或t2=
2
3
．
∴B（1，0）．（2分）
（ⅱ）当B在E的右侧时，OB=OE+EB=
5
2
t，
∴
2t
2-t
=
5
2
t，
∴t1=0（舍去）或t2=
6
5
，
∴B（3，0）．（2分）
综上，B（1，0）（3，0）（6，0）．

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