已知函数f(x)=lg(x+a/x+1-1)，其中a是大于零的常数． （1）求函数f（x）的定义域； （2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）的最小值； （3）若∀x∈[0，+∞）恒有f（x）＞0，试确定实数a的取值范围．
问题描述：
已知函数f(x)=lg(x+
-1)，其中a是大于零的常数．a x+1
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）的最小值；
（3）若∀x∈[0，+∞）恒有f（x）＞0，试确定实数a的取值范围．
答
（1）x+
-1＞0，a x+1
＞0，
x2+a-1 x+1
因为a＞0，故当a＞1时，定义域为（-1，+∞）；
当a=1时，定义域为（-1，0）∪（0，+∞）；
当0＜a＜1时，定义域为(-1，-
)∪(
1-a
，+∞)．
1-a
（2）令g(x)=x+
-1=x+1+a x+1
-2，a x+1
当a∈（1，4）时，由（1）得x∈（-1，+∞），故x+1＞0，
所以g(x)=x+
-1=x+1+a x+1
-2≥2a x+1
-2，
a
当且仅当x+1=
即x=a x+1
-1时等号成立．
a
故f（x）的最小值为lg(2
-2)．
a
（3）∀x∈[0，+∞），恒有f（x）＞0，
即x+
-1＞1，a x+1
＞2-x，又x∈[0，+∞），a x+1
则a＞（2-x）（x+1），a＞-x2+x+2恒成立，故a＞
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