在平面直角坐标系xOy中,记二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点.经过三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围;(2)求圆C的方程;(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b的无关)?请证明你的结论.
问题描述:
在平面直角坐标系xOy中,记二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点.经过三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围;
(2)求圆C的方程;
(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b的无关)?请证明你的结论.
答
.(1)令x=0,得抛物线与y轴交点是(0,b);令f(x)=x2+2x+b=0,由题意b≠0且△>0,解得b<1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0是同一个方程,故D=2,F=b.令x=0得...
答案解析:(1)由题意知,由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0,然后抛物线与x轴有两个交点即令f(x)=0的根的判别式大于0即可求出b的范围;
(2)设出圆的一般式方程,根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知:令y=0得到与f(x)=0一样的方程;令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程;
(3)设圆的方程过定点(x0,y0),将其代入圆的方程得x02+y02+2x0-y0+b(1-y0)=0,因为x0,y0不依赖于b得取值,所以得到1-y0=0即y0=1,代入x02+y02+2x0-y0=0中即可求出定点的坐标.
考试点:二次函数的图象;圆的标准方程.
知识点:本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.是一道综合题.