在平面直角坐标系中,设二次函数f(x)=x^2+4x+b(b是实数)的图象与两坐标轴有三个交点经过三个交点的圆C(1)求实数b的取值范围?(2)求圆C的方程?(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)请证明你的结论?

问题描述:

在平面直角坐标系中,设二次函数f(x)=x^2+4x+b(b是实数)的图象与两坐标轴有三个交点经过三个交点的圆C
(1)求实数b的取值范围?
(2)求圆C的方程?
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)请证明你的结论?

原题:y=x²+2x+b因为数字变了,不知道最后一问会不会出来结果
思路就是这样
(1)b=0时候,f(x)=x²+2x
此时与坐标轴交点(0,0)(0,-2)不合题意,所以b不等于0
令y=0
x²+2x+b=0
判别式=4-4b>0
b所以b(2)设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
解方程x²+2x+b=0
x=-1+√(1-b),-1-√(1-b)
将(-1+√(1-b),0)和(-1-√(1-b),0)(0,b)代入圆C方程
解出D=2
E=-(b+1)
F=b
圆C:x²+y²+2x-(b+1)y+b=0
(3)设圆过定点(x0,y0)
x0²+y0²+2x0-(b+1)y0+b=0
x0²+y0²+2x0-y0+b(1-y0)=0
该方程若成立
则1-y0=0(1)
x0²+y0²+2x0-y0=0(2)
解得
x0=0
y0=1

x0=-2
y0=1
定点(0,1)(-2,1)
参考