已知函数f（x）=alnx-2ax+3（a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）函数y=f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为32，若函数g（x）=13x3+x2[f′(x)+m]，在区间（1，3）上不是单调函数，求 m的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=alnx-2ax+3（a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）函数y=f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为
，若函数g（x）=3 2
x3+x2[f′(x)+m]，在区间（1，3）上不是单调函数，求 m的取值范围． 1 3
答
知识点：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，在区间（a，b）上存在极值，则在区间（a，b）上不单调，属于中档题．
（Ⅰ） f′(x)＝a(1−2x)x(x＞0)（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，12]，减区间为[12，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[12，+∞），减区间为（0，12]；（II）f′(2)＝a(1−2×2)2＝32∴a=-1∴f（x）...
答案解析：（I）利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间）；
（II）对函数进行求导，令导函数等于0在区间（1，3）上有解，然后建立关系式，解之即可．
考试点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
知识点：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，在区间（a，b）上存在极值，则在区间（a，b）上不单调，属于中档题．