在x∈[12,2]上,函数f(x)=x2+px+q与g(x)=3x2+32x在同一点取得相同的最小值,那么f(x)在x∈[12,2]上的最大值是(  )A. 134B. 4C. 8D. 54

问题描述:

在x∈[

1
2
,2]上,函数f(x)=x2+px+q与g(x)=
3x
2
+
3
2x
在同一点取得相同的最小值,那么f(x)在x∈[
1
2
,2]上的最大值是(  )
A.
13
4

B. 4
C. 8
D.
5
4

∵在x∈[

1
2
,2]上,g(x)=
3x
2
+
3
2x
≥2
3x
2
×
3
2x
=3,当且仅当x=1时等号成立
∴在x∈[
1
2
,2]上,函数f(x)=x2+px+q在x=1时取到最小值3,
p
2
=1
1+p+q=3
解得p=-2,q=4
∴f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+4,
∴当x=2时取到最大值4
故选B
答案解析:由于两函数在同一点出取到相同的最小值,故本题应先从g(x)=
3x
2
+
3
2x
的最值上研究,观察其形式可以看出,可以用基本不等式求最小值,由此得到函数f(x)=x2+px+q在x∈[
1
2
,2]上的最小值,由此得出参数p,q的关系,求出两个参数的值,问题得到求解.
考试点:基本不等式在最值问题中的应用;函数的最值及其几何意义.

知识点:本题考点是函数的最值及其几何意义,考查了基本不等式求最值与二次函数求最值,利用基本不等式求最值要注意等号成立的条件,及相关两项的符号.本题中两个求最值的方法在高中阶段应用都很广泛,注意总结此两种求最值方法的规律.