在x∈[12,2]上,函数f(x)=x2+px+q与g(x)=3x2+32x在同一点取得相同的最小值,那么f(x)在x∈[12,2]上的最大值是( )A. 134B. 4C. 8D. 54
问题描述:
在x∈[
,2]上,函数f(x)=x2+px+q与g(x)=1 2
+3x 2
在同一点取得相同的最小值,那么f(x)在x∈[3 2x
,2]上的最大值是( )1 2
A.
13 4
B. 4
C. 8
D.
5 4
答
知识点:本题考点是函数的最值及其几何意义,考查了基本不等式求最值与二次函数求最值,利用基本不等式求最值要注意等号成立的条件,及相关两项的符号.本题中两个求最值的方法在高中阶段应用都很广泛,注意总结此两种求最值方法的规律.
∵在x∈[
,2]上,g(x)=1 2
+3x 2
≥23 2x
=3,当且仅当x=1时等号成立
×3x 2
3 2x
∴在x∈[
,2]上,函数f(x)=x2+px+q在x=1时取到最小值3,1 2
∴
解得p=-2,q=4
−
=1p 2 1+p+q=3
∴f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+4,
∴当x=2时取到最大值4
故选B
答案解析:由于两函数在同一点出取到相同的最小值,故本题应先从g(x)=
+3x 2
的最值上研究,观察其形式可以看出,可以用基本不等式求最小值,由此得到函数f(x)=x2+px+q在x∈[3 2x
,2]上的最小值,由此得出参数p,q的关系,求出两个参数的值,问题得到求解.1 2
考试点:基本不等式在最值问题中的应用;函数的最值及其几何意义.
知识点:本题考点是函数的最值及其几何意义,考查了基本不等式求最值与二次函数求最值,利用基本不等式求最值要注意等号成立的条件,及相关两项的符号.本题中两个求最值的方法在高中阶段应用都很广泛,注意总结此两种求最值方法的规律.