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（2010•南开区二模）设函数f（x）=13x-lnx（x＞0），那么函数y=f（x）（　　） A.在区间（1e，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点 B.在区间（1e，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点 C.在

分类: 作业答案 • 2023-01-06 14:31:53

问题描述：

（2010•南开区二模）设函数f（x）=

1

3

x-lnx（x＞0），那么函数y=f（x）（　　）
A. 在区间（

1

e

，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点
B. 在区间（

1

e

，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点
C. 在区间（

1

e

，1），（1，e）内均有零点
D. 在区间（

1

e

，1），（1，e）内均无零点

答

函数的导数为f′（x）=

1

3

−

1

x

＝

x−3

3x

，
当f′（x）＞0，解得x＞3，此时函数单调递增，
当f′（x）＜0，解得0＜x＜3，此时函数单调递减，
则函数f（x）在（

1

e

，1），（1，e）都为减函数，
∵f（

1

e

）=

1

3

×

1

e

-ln

1

e

=

1

3e

+1＞0，f（1）=

1

3

＞0，f（e）=

1

3

e-lne=

1

3

e-e＜0，
∴在区间（

1

e

，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点，
故选：A