已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是BB1和BC的中点,AB=4,AD=2,B1D与平面ABCD所成角的大小为60°,求异面直线B1D与MN所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

问题描述:

已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是BB1和BC的中点,AB=4,AD=2,B1D与平面ABCD所成角的大小为60°,求异面直线B1D与MN所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

连接B1C,由M、N分别是BB1和BC的中点,得B1C∥MN,
∴∠DB1C就是异面直线B1D与MN所成的角、
连接BD,在Rt△ABD中,可得BD=2

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,又BB1⊥平面ABCD,∠B1DB是B1D与平面ABCD所成的角,∴∠B1DB=60°、
在Rt△B1BD中,B1B=BDtan60°=2
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又DC⊥平面BB1C1C,∴DC⊥B1C,
在Rt△DB1C中,tan∠DB1C=
DC
B1C
DC
BC2+B
B
2
1
1
2

∴∠DB1C=arctan
1
2

即异面直线B1D与MN所成角的大小为arctan
1
2

答案解析:先求出高B1B,再通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1,得到的锐角或直角就是异面直线所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角的余弦值,再用方三角函数值表示即可.
考试点:异面直线及其所成的角.
知识点:本题主要考查了异面直线及其所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.