已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围．
问题描述：
已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围．
答
知识点：本题重点考查二次函数解析式的求解，考查恒成立问题的处理，解题的关键是将在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，转化为x2-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立．
（1）令x=0，则∵f（x+1）-f（x）=2x，∴f（1）-f（0）=0，∴f（1）=f（0）∵f（0）=1∴f（1）=1，∴二次函数图象的对称轴为x=12．∴可令二次函数的解析式为f（x）=y=a(x-12)2+h．令x=-1，则∵f（x+1）-f（x）=2x，...
答案解析：（1）根据二次函数f（x）满足条件f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x，可求f（1）=1，f（-1）=3，从而可求函数f（x）的解析式；
（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，等价于x2-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立，等价于x2-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立，求出左边函数的最小值，即可求得实数m的取值范围．
考试点：二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法；抽象函数及其应用；函数恒成立问题．
知识点：本题重点考查二次函数解析式的求解，考查恒成立问题的处理，解题的关键是将在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，转化为x2-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立．