设实数x,y满足约束条件:x≥2y≥x2x+y≤12,则z=x2+y2的最大值为_.

问题描述:

设实数x,y满足约束条件:

x≥2
y≥x
2x+y≤12
,则z=x2+y2的最大值为______.

作出不等式组对应的平面区域如图:作出不等式组对应的平面区域如图:
则z=x2+y2的几何意义为动点P(x,y)到原点距离的平方的最大值,
由图象可知当P位于点A时,距离最大,

x=2
2x+y=12
,解得
x=2
y=8

此时zmax=x2+y2=22+82=68.
故答案为:68