已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°． （1）求证：直线AC是圆O的切线； （2）如果∠ACB=75°，圆O的半径为2，求BD的长．
问题描述：
已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°．
（1）求证：直线AC是圆O的切线；
（2）如果∠ACB=75°，圆O的半径为2，求BD的长．
答
（1）证明：∵OD=OC，∠DOC=90°，
∴∠ODC=∠OCD=45°．
∵∠DOC=2∠ACD=90°，
∴∠ACD=45°．
∴∠ACD+∠OCD=∠OCA=90°．
∵点C在圆O上，
∴直线AC是圆O的切线．
（2）方法1：∵OD=OC=2，∠DOC=90°，
∴CD=2
．
2
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠BCD=30°，
作DE⊥BC于点E，则∠DEC=90°，
∴DE=DCsin30°=
．
2
∵∠B=45°，
∴DB=2．
方法2：连接BO
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠BCD=30°，∴∠BOD=60°
∵OD=OB=2
∴△BOD是等边三角形
∴BD=OD=2．