如图,在矩形ABCD中,AE、BE、CG、DG分别是各内角的平分线,E、F、G、H分别为它们的交点.求证:四边形EFGH是正方形.

问题描述:

如图,在矩形ABCD中,AE、BE、CG、DG分别是各内角的平分线,E、F、G、H分别为它们的交点.求证:四边形EFGH是正方形.

证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=∠BAD=90°,AD=BC,
∵在矩形ABCD中,AE、BE、CG、DG分别是各内角的平分线,
∴∠ADF=∠FAD=45°,
∴△ADF是等腰直角三角形,
∴AD=

2
DF,∠AFD=90°,AF=DF,
∴∠EFG=90°,
同理:∠FEH=∠EHG=90°,DG=CG,BC=
2
CH,
∴四边形EFGH是矩形,且DF=CH,
∴FG=HG,
∴四边形EFGH是正方形.