已知数列{an}满足a1=1,a2=5,n≥2时,an+1=5an-6an-1证明数列{an+1-3an}为等比数列求数列{an}的通项公式试比较an与2n²+1的大小
问题描述：
已知数列{an}满足a1=1,a2=5,n≥2时,an+1=5an-6an-1
证明数列{an+1-3an}为等比数列
求数列{an}的通项公式
试比较an与2n²+1的大小
答
用特征方程来处理
先做第二问
an+1=5an-6an-1
设X^2-5X+6=0
X1=2 X2=3
设an=A*2^n+B*3^n
又∵a1=1,a2=5
∴得an=-2^n+3^n
∴an+1-3an=-2^(n+1)+3^(n+1)-3（-2^n+3^n)=2^(n+2)
∴{an+1-3an}为等比数列
令g(n)=-2^n+3^n-(2n2+1)
∵g(n)恒小于0
∴an小于2n2+1
答
1.证：n≥2时,a(n+1)=5an-6a(n-1)a(n+1)-3an=2an-6a(n-1)=2[an-3a(n-1)][a(n+1)-3an]/[an-3a(n-1)]=2,为定值.a2-3a1=5-3=2数列{a(n+1)-3an}是以2为首项,2为公比的等比数列.2.a(n+1)-3an=2ⁿa(n+1)+2^(n+1)=3an ...