设f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数,且f''(x)不等于0,证明：(1)若给定(-1,1)内的x不等于0,存在唯一的a属于(0,1),使得f(x)=f(0)+xf'(ax)；(2)对于(-1,1)内任意的x不等于0,当x趋向于0,有lima=0.5

分类: 作业答案 • 2021-12-19 15:02:24

问题描述：

设f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数,且f''(x)不等于0,证明：
(1)若给定(-1,1)内的x不等于0,存在唯一的a属于(0,1),使得f(x)=f(0)+xf'(ax)；
(2)对于(-1,1)内任意的x不等于0,当x趋向于0,有lima=0.5

答

1）证存在:因为 f''(x)不等于0
所以f'(x)在定义域内单调且原函数f(x)在定义域内连续可导
令x属于(0,1),则在0的区间(0,x)内必有一点ζ,满足
f'(ζ)=[f(x)-f(0)]/(x-0)=f(x)-f(0)]/x (0