点P是△ABC内一点,PG是BC的垂直平分线,∠PBC=12∠A,BP、CP的延长线交AC、AB于D、E,求证:BE=CD.

问题描述:

点P是△ABC内一点,PG是BC的垂直平分线,∠PBC=

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2
∠A,BP、CP的延长线交AC、AB于D、E,求证:BE=CD.

证明:作BF⊥CE于F点,CM⊥BD于M点
则∠PFB=∠PMC=90°.
∵PG是BC的垂直平分线,∴PB=PC.
在△PBF和△PCM中,

∠PFB=∠PMC
∠BPF=∠CPM
PB=PC

∴△PBF≌△PCM(AAS),
∴BF=CM;
∵PB=PC,
∴∠PBC=∠PCB=
1
2
∠BPE.
∵∠PBC=
1
2
∠A,
∴∠A=∠BPE.
∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°,
∴∠AEP+∠ADP=180°.
又∠AEP=∠BEF,∠ADP+∠CDM=180°,
∴∠BEF=∠CDM.
在△BEF和△CDM中,
∠BEF=∠CDM
∠BFE=∠CMD
BF=CM

∴△BEF≌△CDM(AAS).
∴BE=CD.
答案解析:作BF⊥CE于F点,CM⊥BD于M点.证明Rt△BEF≌Rt△CDM.易证Rt△PBF≌Rt△PCM,得到BF=CM;由于∠A=∠BPE,在四边形ADPE中,根据内角和定理可得∠BEF=∠CDM,所以Rt△BEF≌Rt△CDM.得证.
考试点:线段垂直平分线的性质.
知识点:此题考查了垂直平分线性质、全等三角形的判定和性质等知识点,如何构造全等三角形是难点.