已知定义域为R的函数f(x)=1−2xa+2x+1是奇函数.(1)求a的值;(2)若对任意的t∈R,不等式f(mt2+1)+f(1-mt)<0恒成立,求实数m的取值范围.

问题描述:

已知定义域为R的函数f(x)=

1−2x
a+2x+1
是奇函数.
(1)求a的值;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(mt2+1)+f(1-mt)<0恒成立,求实数m的取值范围.

(1)由题意可得函数的定义域是R且函数是奇函数,把f(-1)=-f(1),代入可得:a=2.(2)由(1)可得 f(x)=1−2x2+2x+1在它的定义域是R是减函数,且是奇函数,则不等式 f(mt2+1)+f(1-mt)<0 可化为:f(mt2+1...
答案解析:(1)由题意可得函数的定义域是R是奇函数,把f(-1)=-f(1),代入可得a的值.
(2)由(1)可得 f(x)=

1−2x
2+2x+1
在它的定义域是R是减函数,且是奇函数,不等式化为f(mt2+1)<f(mt-1),可得 mt2-mt+2>0,分m=0和m≠0两种情况分别求出实数m的
取值范围.
考试点:函数恒成立问题;函数奇偶性的性质.
知识点:本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用,函数的恒成立问题,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.