已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a＞b＞c且f（1）=0，试证明f（x）必有两个零点；（2）若对x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）=12[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，证明必有一实根属于（x1，x2）．
问题描述：
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
（1）若a＞b＞c且f（1）=0，试证明f（x）必有两个零点；
（2）若对x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）=
[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，证明必有一实根属于（x1，x2）． 1 2
答
知识点：本题考查二次函数的性质，方程的根就是对应函数的零点，以及函数零点存在的条件，属于中档题．
证明：（1）∵f（1）=0，∴a+b+c=0．又∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，即ac＜0．又∵△=b2-4ac≥-4ac＞0，∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根．所以，函数f（x）必有两个零点．（2）令g（x）=f（x）-12[f（x1）+f（x2）]，则...
答案解析：（1）由条件得到a＞0，c＜0，判别式△=b2-4ac≥-4ac＞0，从而证得方程ax2+bx+c=0有两个不等实根．
（2）令g（x）=f（x）-
[f（x1 ）+f（x2）]，证明g（x1）•g（x2）＜0，可得g（x）=0在（x1，x2）内必有一实根，1 2
问题得证．
考试点：二次函数的性质．
知识点：本题考查二次函数的性质，方程的根就是对应函数的零点，以及函数零点存在的条件，属于中档题．