已知函数f(x)对任意实数x,y,总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)成立,求证:f(x)为偶函数
问题描述:
已知函数f(x)对任意实数x,y,总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)成立,求证:f(x)为偶函数
答
由于f(0)=1 所以f(y) f(-y)=2f(y)所以f(-y)=f(y)对于任意实数都有f(-y)=f(y)所以函数为偶函数。 设y=0 f(x) f(x
答
在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中
令y=0 则又 f(x)+f(x)=2f(x)f(0)
如果f(x)恒等于0,则它为偶函数
考虑f(x)不恒等于0时,得f(0)=1
再在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中 令x=0
得 f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)
得 f(-y)=f(y) 所以 f(x)为偶函数