如图,⊙O的直径AB=2,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于E,交AM于D,交BN于C.设AD=x,BC=y.(1)求证:AM∥BN;(2)求y关于x的关系式;(3)求四边形ABCD的面积S,并证明:S≥2.

问题描述:

如图,⊙O的直径AB=2,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于E,交AM于D,交BN于C.设AD=x,BC=y.
(1)求证:AM∥BN;
(2)求y关于x的关系式;
(3)求四边形ABCD的面积S,并证明:S≥2.

(1)证明:∵AB是直径,AM、BN是切线,∴AM⊥AB,BN⊥AB,∴AM∥BN.(2)过点D作DF⊥BC于F,则AB∥DF.由(1)AM∥BN,∴四边形ABFD为矩形.∴DF=AB=2,BF=AD=x.∵DE、DA,CE、CB都是切线,∴根据切线长定理,得D...
答案解析:(1)根据切线的性质得到它们都和直径垂直就可证明;
(2)作直角梯形的另一高,构造一个直角三角形,根据切线长定理和勾股定理列方程,再表示出关于y的函数关系式;
(3)根据直角梯形的面积公式表示梯形的面积,再根据求差法比较它们的大小.
考试点:切线的性质;矩形的性质;切割线定理.
知识点:此题综合运用了切线的性质定理、切线长定理、勾股定理以及求差法比较两个数的大小.