以抛物线y2=4x的焦点为圆心、2为半径的圆,与过点A(-1,3)的直线l相切,则直线l的方程是 ______.

问题描述:

以抛物线y2=4x的焦点为圆心、2为半径的圆,与过点A(-1,3)的直线l相切,则直线l的方程是 ______.

若直线l的斜率不存在,根据题意显然x=-1满足条件,所以直线l的方程为x=-1;
若直线l的斜率存在,设斜率为k,则直线l的方程为y-3=k(x+1),
根据抛物线的解析式得到焦点法横坐标为x=

P
2
=
2
2
=1,
则焦点坐标即为圆心坐标为(1,0),
因为直线l与圆相切,所以圆心到直线的距离d=
|2k+3|
k2+(−1)2
=r=2,解得k=-
5
12

则直线l的方程为y-3=-
5
12
(x+1),化简得5x+12y-31=0.
所以直线l的方程是x=-1或5x+12y-31=0.
故答案为:x=-1或5x+12y-31=0
答案解析:先根据抛物线的方程求出焦点坐标即为圆心坐标,然后分两种情况:斜率不存在,显然得到直线l;斜率存在时,设出斜率k,因为直线l与圆相切,利用圆心到直线的距离等于半径列出关于k的方程,求出k的值即可得到直线l的方程.
考试点:圆的切线方程;抛物线的简单性质.
知识点:本题是一道综合题,要求学生灵活运用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径,会利用抛物线的简单性质.学生做题时很可能把平行与y轴的切线遗漏,考虑问题不全面.