这个数列怎么求和等比数列an=2^n,求S1+2S2+...+nSn
问题描述：
这个数列怎么求和
等比数列an=2^n,求S1+2S2+...+nSn
答
用错位相减法，具体运算挺复杂的
答
∵an=2^n
∴Sn＝2^(n＋1) －2
设Bn＝nSn＝n·2^(n＋1)－2n
则Tn＝S1+2S2+...+nSn
＝1·2²＋2·2³＋…＋n·2^(n＋1)－2×(1＋n)·n／2
＝1·2²＋2·2³＋…＋n·2^(n＋1) ＋ 0 －(1＋n)·n ①
2Tn＝0 ＋1·2³＋…＋(n－1)·2^(n＋1)＋n·2^(n＋2)－2(1＋n)·n ②
①②式相减得：
Tn＝(n－1)·2^(n＋2)－(1＋n)·n＋4
答
∵an=2^n∴a1=2 q=2于是Sn=2(1-2ⁿ)/(1-2)=2(2ⁿ-1)=2^(n+1)-2S1+2S2+...+nSn=2²-2+2*(2³-2)+3*(2⁴-2)+……+n[2^(n+1)-2]=2²+2*2³+3*2⁴+……+n*2^(n+1)-(2+2*2+3*2+n*2)=...