如图,AB为⊙O的直径,BC切⊙O于点B,AC交⊙O于点D,E为BC中点.(1)求证:DE为⊙O的切线;(2)延长ED交BA的延长线于F,若DF=4,AF=2,求BC的长.

问题描述:

如图,AB为⊙O的直径,BC切⊙O于点B,AC交⊙O于点D,E为BC中点.

(1)求证:DE为⊙O的切线;
(2)延长ED交BA的延长线于F,若DF=4,AF=2,求BC的长.

解(1)如图,连接DB,OD,∵OD=OB∴∠1=∠3.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°=∠CDB,∵E为BC中点,∴DE=BE,∴∠2=∠4.∵BC切⊙O于点B,∴∠ABC=90°=∠3+∠4,∴∠1+∠2=90°,∴OD⊥DE,∵OD为⊙O半径,∴DE为⊙...
答案解析:(1)连接OD和DB,根据直角三角形斜边上中线性质得出DE=BE,推出∠2=∠4,根据等腰三角形性质得出∠1=∠3,根据∠3+∠4=∠1+∠2=∠ABC=90°,根据切线的判定推出即可;
(2)在Rt△FDO中,根据勾股定理求出半径,证△FDO∽△FBE,得出比例式求出BE,即可求出BC.
考试点:切线的判定与性质;勾股定理.
知识点:本题考查了相似三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线性质,勾股定理,切线的判定,等腰三角形的性质等知识点的综合运用.