如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,⊙O过AB两点且与BC切于B,与AC交于D,连接BD,若BC=5-1,则AC=______.

问题描述:

如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,⊙O过AB两点且与BC切于B,与AC交于D,连接BD,若BC=

5
-1,则AC=______.

∵AB=AC,∠C=72°,BC是⊙O的切线,
∴∠CBD=∠BAC=36°,
∴∠ABD=36°,
∴∠BDC=∠BCD=72°,
∴AD=BD=BC;
又∵BC是切线,
∴BC2=CD•AC,
∴BC2=(AC-BC)•AC(设AC=x),则可得到:(x-

5
−1
2
2=
5
4
(
5
−1)2

解得:x1=2,x2=
5
−3
(x2<0不合题意,舍去).
∴AC=2.
答案解析:利用切割线定理,可以求出AC的值.
考试点:切线的性质;一元二次方程的应用;切割线定理.
知识点:此题运用了切线的性质定理,还有切割线定理,以及解一元二次方程的知识.