(1)已知函数F（X）=X的三次方-X设a>0,如果过点(a,b)可做曲线y=f(x)的三条切线,证明：-a
问题描述：
(1)已知函数F（X）=X的三次方-X
设a>0,如果过点(a,b)可做曲线y=f(x)的三条切线,证明：-a
答
证明：F’（X）=3X^2 -1
所以 设点（X0，Y0）为切点，则经过（a,b)的切线为 （3X0^2 -1)*(X-X0)+YO=Y
带入（a,b)化简有：
2X0^3 - 3aX0^2+a+b=0
设G（X)=2X^3 -3aX^2+a+b
依题意有三条切线 则G(X)=0有三个根
须G(X)的极大值大于0 极小值小于0
有G`(X）=6X(X-a) a＞0
所以G(X)在（-∞，0)与（a，+∞）单增 在（0，a)单减
极大值G(0）=a+b ＞0
极小值G(a) =-a^3+a+b＜0
又F(a）=a^3-a
所以：-a
答
此题解法：假设切点横坐标是m,则切线斜率是3×m^2-1,从而切线方程是：y-(m^3-m)=(3m^2-1)(x-m),化简得：y+2m^3=(3m^2-1)x
经过（a,b）,所以有：2m^3-3a(m^2)+(a+b)=0,由于过（a,b）可作三条切线,因此关于m的方程
2m^3-3a(m^2)+(a+b)=0
必须有3个解,考虑三次函数g(m)=2m^3-3a(m^2)+(a+b),求导讨论极值点g'(m)=6m(m-a),在m=0处极大值,m＝a>0处极小值,
显然g（＋∞）＝＋∞,g（－∞）＝－∞,g(m)＝0有三个解必须有
g(0)>0,g(a)0,-a^3+a+b