数列极限中的不动点法如何求通项

通常为了求出递推数列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、f是不全为0的常数,c、e不同时为0】的通项,我们可以采用不动点法来解.假如数列{a[n]}满足a[n+1]=f(a[n]),我们就称x=f(x)为函数f(x)的不动点方程,其根称为函数f(x)的不动点.至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项,这足可以写一本书.但大致的理解可以这样认为,当n趋于无穷时,如果数列{a[n]}存在极限,a[n]和a[n+1]是没有区别的.
首先,要注意,并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程,比如：a[n+1]=a[n]+1/a[n].其次,不动点有相异不动点和重合不动点.
下面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧.
例1：已知a[1]=2,a[n+1]=2/(a[n]+1),求通项.
【说明：这题是“相异不动点”的例子.】
先求不动点
∵a[n+1]=2/(a[n]+1)
∴令 x=2/(x+1),解得不动点为：x=1 和 x=-2 【相异不动点】
∴(a[n+1]-1)/(a[n+1]+2) 【使用不动点】
=(2/(a[n]+1)-1)/(2/(a[n]+1)+2)
=(2-a[n]-1)/(2+2a[n]+2)
=(-a[n]+1)/(2a[n]+4)
=(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2)
∵a[1]=2
∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4
∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列
∴(a[n]-1)/(a[n]+2)=1/4(-1/2)^(n-1)
解得：a[n]=3/[1-(-1/2)^(n+1)]-2
例2：已知数列{a[n]}满足a[1]=3,a[n]a[n-1]=2a[n-1]-1,求通项.
【说明：这题是“重合不动点”的例子.“重合不动点”往往采用取倒数的方法.】
∵a[n]=2-1/a[n-1]
∴采用不动点法,令：x=2-1/x
即：x^2-2x+1=0
∴x=1 【重合不动点】
∵a[n]=2-1/a[n-1]
∴a[n]-1=2-1/a[n-1]-1 【使用不动点】
a[n]-1=(a[n-1]-1)/a[n-1]
两边取倒数,得：1/(a[n]-1)=a[n-1]/(a[n-1]-1)
即：1/(a[n]-1)-1/(a[n-1]-1)=1
∵a[1]=3
∴{1/(a[n]-1)}是首项为1/(a[1]-1)=1/2,公差为1的等差数列
即：1/(a[n]-1)=1/2+(n-1)=(2n-1)/2
∴a[n]=2/(2n-1)+1=(2n+1)/(2n-1)
例3：已知数列{a[n]}满足a[1]=1/2,S[n]=a[n]n^2-n(n-1),求通项.
【说明：上面两个例子中获得的不动点方程系数都是常数,现在看个不动点方程系数包含n的例子.】
∵S[n]=a[n]n^2-n(n-1)
∴S[n+1]=a[n+1](n+1)^2-(n+1)n
将上面两式相减,得：
a[n+1]=a[n+1](n+1)^2-a[n]n^2-(n+1)n+n(n-1)
(n^2+2n)a[n+1]=a[n]n^2+2n
(n+2)a[n+1]=na[n]+2
a[n+1]=a[n]n/(n+2)+2/(n+2) 【1】
采用不动点法,令：x=xn/(n+2)+2/(n+2)
解得：x=1 【重合不动点】
设：a[n]-1=b[n],则：a[n]=b[n]+1 【使用不动点】
代入【1】式,得：b[n+1]+1=(b[n]+1)n/(n+2)+2/(n+2)
b[n+1]=b[n]n/(n+2)
即：b[n+1]/b[n]=n/(n+2)
于是：【由于右边隔行约分,多写几行看得清楚点】
b[n]/b[n-1]=(n-1)/(n+1) 【这里保留分母】
b[n-1]/b[n-2]=(n-2)/n 【这里保留分母】
b[n-2]/b[n-3]=(n-3)/(n-1)
b[n-3]/b[n-4]=(n-4)/(n-2)
.
b[5]/b[4]=4/6
b[4]/b[3]=3/5
b[3]/b[2]=2/4 【这里保留分子】
b[2]/b[1]=1/3 【这里保留分子】
将上述各项左右各自累乘,得：
b[n]/b[1]=(1*2)/[n(n+1)]
∵a[1]=1/2
∴b[1]=a[1]-1=-1/2
∴b[n]=-1/[n(n+1)]
∴通项a[n]=b[n]+1=1-1/[n(n+1)]
例4：已知数列{a[n]}满足a[1]=2,a[n+1]=(2a[n]+1)/3,求通项.
【说明：这个例子说明有些题目可以采用不动点法,也可以采用其他解法.】
∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3
求不动点：x=(2x+1)/3,得：x=1 【重合不动点】
∴a[n+1]-1=(2a[n]+1)/3-1 【使用不动点】
即：a[n+1]-1=(2/3)(a[n]-1)
∴{a[n]-1}是首项为a[1]-1=1,公比为2/3的等比数列
即：a[n]-1=(2/3)^(n-1)
∴a[n]=1+(2/3)^(n-1)
【又】∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3
∴3a[n+1]=2a[n]+1
这时也可以用待定系数法,甚至直接用观察法,即可得到：
3a[n+1]-3=2a[n]-2
∴a[n+1]-1=(2/3)(a[n]-1)
【下面同上】
例5：已知数列{x[n]}满足x[1]=2,x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n]),求通项.
【说明：现在举个不动点是无理数的例子,其中还要采用对数的方法.】
∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n])
∴采用不动点法,设：y=(y^2+2)/(2y)
y^2=2
解得不动点是：y=±√2 【相异不动点为无理数】
∴(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2) 【使用不动点】
={(x[n]^2+2)/2x[n]-√2}/{(x[n]^2+2)/2x[n]+√2}
=(x[n]^2-2√2x[n]+2)/(x[n]^2+2√2x[n]+2)
={(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}^2
∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/2x[n]=x[n]/2+1/x[n]≥2/√2=√2
∴ln{(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2)}=2ln{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)} 【取对数】
∵x[1]=2>√2
∴(x[1]-√2)/(x[1]+√2)=3-2√2
∴{ln((x[n]-√2)/(x[n]+√2))}是首项为ln(3-2√2),公比为2的等比数列
即：ln{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}=2^(n-1)ln(3-2√2)
(x[n]-√2)/(x[n]+√2)=(3-2√2)^[2^(n-1)]
x[n]-√2=(3-2√2)^[2^(n-1)](x[n]+√2)
x[n]-x[n](3-2√2)^[2^(n-1)]=√2(3-2√2)^[2^(n-1)]+√2
∴x[n]=√2{1+(3-2√2)^[2^(n-1)]}/{1-(3-2√2)^[2^(n-1)]}
例6：已知数列{a[n]}满足a[1]=2,a[n+1]=(1+a[n])/(1-a[n]),求通项.
【说明：现在举个不动点是虚数的例子,说明有些题目可以采用不动点法,但采用其他解法可能更方便.】
求不动点：x=(1+x)/(1-x),即：x^2=-1,得：
x[1]=i,x[2]=-i 【相异不动点为虚数,i为虚数单位】
∴(a[n+1]-i)/(a[n+1]+i) 【使用不动点】
={(1+a[n])/(1-a[n]-i}/{(1+a[n])/(1-a[n]+i}
=(1+a[n]-i+a[n]i)/(1+a[n]+i-a[n]i)
={(1+i)/(1-i)}{(a[n]-i)/(a[n]+i)}
=i(a[n]-i)/(a[n]+i)
∵a[1]=2
∴{(a[n]-i)/(a[n]+i)}是首项为(a[1]-i)/(a[1]+i)=(2-i)/(2+i),公比为i的等比数列
即：(a[n]-i)/(a[n]+i)=[(2-i)/(2+i)]i^(n-1)
(a[n]-i)(2+i)=(a[n]+i)(2-i)i^(n-1)
2a[n]-2i+ia[n]+1=(2a[n]+2i-ia[n]+1)i^(n-1)
{2+i-(2-i)(i)^(n-1)}a[n]=2i-1+(2i+1)i^(n-1)
a[n]=[2i-1+(2i+1)i^(n-1)]/[2+i-(2-i)i^(n-1)]
∴a[n]=[2i-1+(2-i)i^n]/[2+i-(2-i)i^(n-1)]
【下面用“三角代换”,看看是否更巧妙一些.】
∵a[n+1]=(1+a[n])/(1-a[n])
∴令a[n]=tanθ,则a[n+1]=[tan(π/4)+tanθ]/[1-tan(π/4)tanθ]=tan(π/4+θ)
∵θ=arctan(a[n]),π/4+θ=arctan(a[n+1])
∴上面两式相减,得：arctan(a[n+1])-arctan(a[n])=π/4
∵a[1]=2
∴{arctan(a[n])}是首项为arctan(a[1])=arctan2,公差为π/4的等差数列
即：arctan(a[n])=arctan2+(n-1)π/4
∴a[n]=tan[(n-1)π/4+arctan2]