已知,自然数a,b,c,d都可以被 ab-cd整除,且ab-cd>0求证,ab-cd=1

自然数a,b,c,d都可以被 ab-cd整除，且ab-cd>0求证，ab-cd=1
记 h = ab-cd >= 1.
记，a = mh, b = nh, c = ih, d = jh.
其中，m,n,i,j均为自然数。
则，
h = ab-cd = (mh)(nh) - (ih)(jh) = mnh^2 - ijh^2 ,
因此，
(mn-ij)h = 1 。。。（1）
由 h >= 1, mn-ij为整数知，
要使得（1）成立，只有，
mn-ij = 1,
h = 1.
因此，
ab-cd = 1.

设
a/(ab-cd)=k1,（1）
b/(ab-cd)=k2,（2）
c/(ab-cd)=k3,（3）
d/(ab-cd)=k4,（4）
其中k1,k2,k3,k4为整数.
（1）*（2）-（3）*（4）得到：
（ab-cd）/(ab-cd)^2=k1*k2-k3*k4
即1/(ab-cd)=k1*k2-k3*k4
因k1,k2,k3,k4为整数,所以k1*k2-k3*k4必为整数,又a,b,c,d是自然数
ab-cd)也是整数,即1/(ab-cd)是整数,1除以一个整数等于整数,这个整数
（ab-cd)只能是1
所以ab-cd)=1