如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，DC=6，sinB=3/5，点P、Q分别是边BC、对角线AC上的动点，（点P不与B、C重合），∠APQ=∠DAC=∠B，设PB=x，AQ=y． （1）求BC的长； （2）求y关于x的函数解析

答

（1）作AH⊥BC，垂足为H．（1分）
由∠D=90°，得 DC⊥AD，
由AD∥BC，得 DC⊥BC．
又∵AH⊥BC，
∴AH=DC=6．（1分）
在Rt△ABH中，sinB=

AH

AB

，
∵sinB=

3

5

，AH=6，
∴AB=10；
由勾股定理得 BH=8．（1分）
由AD∥BC，得∠DAC=∠ACB，
又∵∠DAC=∠B，
∴∠ACB=∠B，
∴AB=AC．
又∵AH⊥BC，
∴BC=2BH=16．（1分）
（2）∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠QPC，
又∵∠APQ=∠B，
∴∠BAP=∠QPC，
又∵∠B=∠ACB，即∠B=∠QCP，
∴△ABP∽△PCQ．（2分）
∴

PB

AB

＝

QC

PC

，（1分）
即

x

10

＝

10−y

16−x

．
整理得y＝

1

10

x2−

8

5

x+10，（2分）
（0＜x＜16）．（1分）
（3）当△APQ是等腰三角形时，分三种情况：
①当PA=PQ时，
∵∠B=∠QCP，∠BAP=∠QPC，∴△ABP≌△PCQ；
∴PC=AB，即BC-PB=AB，
∴16-x=10，解得 x=6；                         （1分）
②当AQ=PQ时，∠QAP=∠APQ，
∵∠APQ=∠B，∴∠QAP=∠B，即∠PAC=∠B；
又∵∠ACP=∠BCA（公共角），∴△ACP∽△BCA；
∴

AC

PC

＝

BC

AC

，
∴AC²=PC•BC，即10²=（16-x）•16，
解得x＝

39

4

；                                 （1分）
③当AQ=AP时，则有∠AQP=∠APQ，
∵∠APQ=∠ACB，∴∠AQP=∠ACB，
此时，点Q与点C重合，则有点P与点B重合，这与点P不与点B重合矛盾，所以AQ≠AP；（1分）
综上所述，当△APQ是等腰三角形时，x=6或x＝

39

4

．    （1分）