一条有关椭圆的高中数学题,赶.从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是[3b2,4b2],则这一椭圆离心率e的取值范围是

问题描述:

一条有关椭圆的高中数学题,赶.
从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是[3b2,4b2],则这一椭圆离心率e的取值范围是

设椭圆的标准方程为
x2 /a2 +y2/b2=1,在第一象限内取点(x,y),设x=acosθ,y=bsinθ,(0<θ<π/2)
则椭圆的内接矩形长为2acosθ,宽为2bsinθ,
内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab,
由已知得:3b2≤2ab≤4b2,
3b≤2a≤4b,
平方得:9b2≤4a2≤16b2,
9(a2-c2)≤4a2≤16(a2-c2),
5a2≤9c2且12 a2≥16 c2,
]故答案为√5/3≤e≤√3/2

此题很有难度,
关键有两点:
1、如何能截出最大矩形.(长宽与坐标轴平行)
2、是什么因素导致最大值发生变化.(是a的变化所致,要把a看做面积的变量)
设椭圆方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1,长所在直线方程为 y=k ,
联立则得x=±a/b×√(b^2-k^2),
则矩形面积为S=(X1-X2)*2k=4ak/b×√(b^2-k^2),
化简为S=4ab×k/b×√[1-(k/b)^2],观察此式,用换元法求最值,
令k/b=sinθ,则上式化为S=4ab×sinθ×cosθ=2absin2θ,
当θ=π/4时 即k/b=√2/2时,取得最大值S=2ab
由已知,3b^2 ≤S≤4b^2 得 1.5b≤a≤2b,所以 √5/3≤e≤√3/2