已知函数f（x）满足：f（1）=14，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2010）=（ ）A. 12B. 13C. 14D. 1
问题描述：
已知函数f（x）满足：f（1）=
，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2010）=（ ）1 4
A.
1 2
B.
1 3
C.
1 4
D. 1
答
解法一：∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）
取x=1，y=0得f（0）=
1 2
根据已知知f（1）=
1 4
取x=1，y=1得f（2）=-
1 4
取x=2，y=1得f（3）=-
1 2
取x=2，y=2得f（4）=-
1 4
取x=3，y=2得f（5）=-
1 4
取x=3，y=3得f（6）=
1 2
…
猜想得周期为6
∴f（2010）=f（0）=
1 2
解法二：取x=1，y=0得f（0）=
1 2
取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n-1），
同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）
联立得f（n+2）=-f（n-1）
所以f（n）=-f（n+3）=f（n+6）
所以函数是周期函数，周期T=6，
故f（2010）=f（0）=
1 2
故选A
答案解析：由于题目问的是f（2010），项数较大，故马上判断函数势必是周期函数，所以集中精力找周期即可；周期的寻找方法可以是不完全归纳推理出，也可以是演绎推理得出．
考试点：抽象函数及其应用；函数的值．
知识点：准确找出周期是此类问题（项数很大）的关键，分别可以用归纳法和演绎法得出周期，解题时根据自己熟悉的方法得出即可．