求函数u=x+y+z在条件1/x+1/y+1/z=1,x>0,y>0,z>0下的极值

如果是大学阶段的问题，用拉格朗日求极值法，设参数k，辅助函数L：
L=x+y+z+k(1/x+1/y+1/z-1)
L对x的偏导数=1-k/x^2=0；
L对y的偏导数=1-k/y^2=0；
L对z的偏导数=1-k/z^2=0；
1/x+1/y+1/z=1；
解此方程组得到：x=y=z=3；
所以当x=y=z=3时u达到极值u=3+3+3=9。

令U*1=(x+y+z)*(1/x+1/y+1/z)=1+x/y+x/z+1+y/z+y/x+1+z/x+z/y
用均值不等式等式成立条件x=y=z=3
U便大于等于9

柯西不等式
(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=(1+1+1)^2=9
x+y+z>=9
所以有最小值9,此时x=y=z=3

连用两次均值不等式
(1/x+1/y+1/z)/3>=三次根号(1/(xyz)) 得xyz>=3
(x+y+z)/3>=三次根号下（xyz）>=3 得u=x+y+z>=9（等号成立当且仅当x=y=z=3)
所以极小值为9，极大值当然不存在了

属于条件极值
使用拉格朗日最小二乘法
构造函数：
F(x,y,z)=x+y+z+λ(1/x+1/y+1/z-1)
分别为x,y,z求导
Fx'(x,y,z)=1-λ/x^2
Fy'(x,y,z)=1-λ/y^2
Fz'(x,y,z)=1-λ/y^2
并令之为0
则x^2=y^2=z^2=λ
而x>0,y>0,z>0
1/x+1/y+1/z=1
则x=y=z=3
则
x+y+z=9