已知函数f（x）=lnx，g(x)＝ax，设F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）的单调区间；（Ⅱ）若以函数y=F（x）（0＜x≤3）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线斜率k≤12恒成立，求实数a的最小值．
问题描述：
已知函数f（x）=lnx，g(x)＝
，设F（x）=f（x）+g（x）．a x
（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若以函数y=F（x）（0＜x≤3）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线斜率k≤
恒成立，求实数a的最小值． 1 2
答
知识点：本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，进当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
（Ⅰ）由已知a=1，可得F(x)＝f(x)+g(x)＝lnx+
，函数的定义域为（0，+∞），1 x
则F′(x)＝
−1 x
＝1 x2
x−1 x2
由F′(x)＝
−1 x
＝1 x2
＞0可得F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，x−1 x2
F′(x)＝
−1 x
＝1 x2
＜0得F（x）在（0，1）上单调递减；x−1 x2
（Ⅱ）由题意可知k＝F′(x0)＝
≤
x0−a
x
2
0
对任意0＜x0≤3恒成立，1 2
即有x0−
1 2
≤a对任意0＜x0≤3恒成立，即(x0−
x
2
0
1 2
)max≤a，
x
2
0
令t＝x0−
1 2
＝−
x
2
0
(1 2
−2x0)＝−
x
2
0
(x0−1)2+1 2
≤1 2
，1 2
则a≥
，即实数a的最小值为1 2
．1 2
答案解析：（1）将a=1代入求出函数F（x）的解析式后求导数，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可求单调区间．
（2）先求函数F（x）的导数，然后令导函数小于等于
在（0，3]恒成立可求a的范围进而求a的最小值．1 2
考试点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；导数的几何意义．
知识点：本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，进当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．