如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=90°,侧面PAD⊥底面ABCD,∠PAD=90°.若AB=BC=12AD.(Ⅰ)求证:CD⊥平面PAC;(Ⅱ)设侧棱PA的中点是E,求证:BE∥平面PCD.
问题描述:
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=90°,侧面PAD⊥底面ABCD,∠PAD=90°.若AB=BC=
AD.1 2
(Ⅰ)求证:CD⊥平面PAC;
(Ⅱ)设侧棱PA的中点是E,求证:BE∥平面PCD.
答
(Ⅰ)证明:因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD.而CD⊂底面ABCD,所以PA⊥CD.在底面ABCD中,因为∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=12AD,所以AC=CD=22AD,...
答案解析:(Ⅰ)欲证CD⊥平面PAC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CD与平面PAC内两相交直线垂直,根据面面垂直的性质定理可知PA⊥底面ABCD,则PA⊥CD,利用勾股定理可知AC⊥CD,PA∩AC=A,满足定理条件;
(Ⅱ)欲证BE∥平面PCD,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BE与平面PCD内一直线平行,设侧棱PD的中点为F,连接BE,EF,FC,易证四边形BEFC为平行四边形,则BE∥CF,BE⊄平面PCD,CF⊂平面PCD,满足定理所需条件.
考试点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
知识点:本题主要考查了线面垂直的判定、以及线面平行的判定,同时考查了空间想象能力,推理论证能力,属于中档题.