一道初三几何证明题!在ΔABC中D为BC中点,点E、F分别在边AC、AB上,且 ∠ABE= ∠ACF,BE、CF交于点O,过点O作OP⊥AC于P,OQ⊥AB于Q,求证DP=DQ
问题描述：
一道初三几何证明题!
在ΔABC中D为BC中点,点E、F分别在边AC、AB上,且 ∠ABE= ∠ACF,BE、CF交于点O,过点O作OP⊥AC于P,OQ⊥AB于Q,求证DP=DQ
答
难题要加分
答
取OB中点M,取OC中点N.连接DM,DN,QM,PN;
∵OP⊥AC,OQ⊥AB
∴QM,PN,是直角△OBQ和△OCP的斜边中线,
∴QM=BM=OM=1/2BO,PN=CN=ON=1/2CO;
∴∠ABE=∠BQM=∠ACF=∠CPN;
∴∠OMQ=∠ABE+∠BQM=∠ACF+∠CPN=∠PON
∵BD=CD
∴DM是△BOC的中位线
DM=1/2CO=PN
同理,DN=1/2BO=QM
DM//CF;DN//BE
∴∠OMD=∠OND
∠QMD=∠OMD+∠OMQ=∠OND+∠PON=∠PND
∴△QMD全等于△PND
∴DP=DQ