答
(1)证明:连结OB.
∵AB=BC,O为AC中点,
∴∠ABO=∠CBO,BO⊥AC.
∵∠ABC=90°,
∴∠ABO=∠CBO=45°,∠A=∠C=45°,
∴∠ABO=∠C=∠CBO,
∴0B=OC.
∵∠MON=90°,
∴∠MOB+∠BON=∠CON+∠BON=90°,
∴∠MOB=∠CON.
在△BOM和Rt△CON中
,
∴△BOM≌△CON(ASA),
∴BM=CN;
(2)OP=DE,OP⊥DE.理由如下:
①如图2,若点P在线段AO上.
∵BO⊥AC,
∴∠BOC=90°.
∵OB∥DE,
∴∠POB=∠PED=90°,
∴OP⊥DE,
∵PB=PD,
∴∠PDB=∠PBD,
∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠C=45°,
∵BO⊥AC,
∴∠OBC=45°,
∴∠OBC=∠C=45°,
∵∠PBO=∠PBC-∠OBC,∠DPC=∠PDB-∠C,
∴∠PBO=∠DPC,
∵BO⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BOP=∠PED=90°,
在△BPO和△PDE中
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∠POB=∠PED |
∠PBO=∠DPC |
PB=PD |
|
|
,
∴△BPO≌△PDE(AAS);
∴OP=DE;
②若点P在线段CO上.
同理可证OP⊥DE,OP=DE,
∵OB∥DE,
∴∠OBC=∠BDE=45°.
∵PB=PD,
∴∠PDB=∠PBD,
∵∠APB=∠PBD+∠ACB=∠PBD+45°,
∠PDE=∠PDC+∠BDE=∠PDC+45°,
∴∠APB=∠PDE.
在△BPO和△PDE中
|
∠APB=∠PDE |
∠BOP=∠PED |
PB=PD |
|
|
,
∴△BPO≌△PDE(AAS);
∴OP=DE.
综上所述:OP=DE,OP⊥DE.
答案解析:(1)连接OB,证明△MOB≌△NOC就可以得出BM=CN;
(2)根据条件要求当点D在线段BC上时和点D在BC的延长线上时分别作出图形,如图2,如图3,证明△POB≌△DEP就可以得出结论.
考试点:全等三角形的判定与性质.
知识点:本题考查等腰直角三角形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,垂直的性质的运用,平行线的性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.