一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:如图1,已知在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,O为AC中点.(1)如图1,若把三角板的直角顶点放置于点O,两直角边分别与AB、BC交于点M、N,求证:BM=CN;(2)若点P是线段AC上一动点,在射线BC上找一点D,使PD=PB,再过点D作BO的平行线,交直线AC于一点E,试在备用图上探索线段ED和OP的关系,并说明理由.

问题描述:

一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:
如图1,已知在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,O为AC中点.

(1)如图1,若把三角板的直角顶点放置于点O,两直角边分别与AB、BC交于点M、N,求证:BM=CN;
(2)若点P是线段AC上一动点,在射线BC上找一点D,使PD=PB,再过点D作BO的平行线,交直线AC于一点E,试在备用图上探索线段ED和OP的关系,并说明理由.

(1)证明:连结OB.
∵AB=BC,O为AC中点,
∴∠ABO=∠CBO,BO⊥AC.                   
∵∠ABC=90°,
∴∠ABO=∠CBO=45°,∠A=∠C=45°,
∴∠ABO=∠C=∠CBO,
∴0B=OC.
∵∠MON=90°,
∴∠MOB+∠BON=∠CON+∠BON=90°,
∴∠MOB=∠CON.  
在△BOM和Rt△CON中

∠ABO=∠C
0B=OC
∠MOB=∠CON  

∴△BOM≌△CON(ASA),
∴BM=CN;
(2)OP=DE,OP⊥DE.理由如下:
①如图2,若点P在线段AO上.
∵BO⊥AC,
∴∠BOC=90°.
∵OB∥DE,
∴∠POB=∠PED=90°,
∴OP⊥DE,
∵PB=PD,
∴∠PDB=∠PBD,
∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠C=45°,
∵BO⊥AC,
∴∠OBC=45°,
∴∠OBC=∠C=45°,
∵∠PBO=∠PBC-∠OBC,∠DPC=∠PDB-∠C,
∴∠PBO=∠DPC,
∵BO⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BOP=∠PED=90°,
在△BPO和△PDE中
∠POB=∠PED
∠PBO=∠DPC
PB=PD

∴△BPO≌△PDE(AAS);
∴OP=DE;
②若点P在线段CO上.
同理可证OP⊥DE,OP=DE
∵OB∥DE,
∴∠OBC=∠BDE=45°.
∵PB=PD,
∴∠PDB=∠PBD,
∵∠APB=∠PBD+∠ACB=∠PBD+45°,
∠PDE=∠PDC+∠BDE=∠PDC+45°,
∴∠APB=∠PDE.
在△BPO和△PDE中
∠APB=∠PDE 
∠BOP=∠PED
PB=PD

∴△BPO≌△PDE(AAS);
∴OP=DE.
综上所述:OP=DE,OP⊥DE.
答案解析:(1)连接OB,证明△MOB≌△NOC就可以得出BM=CN;
(2)根据条件要求当点D在线段BC上时和点D在BC的延长线上时分别作出图形,如图2,如图3,证明△POB≌△DEP就可以得出结论.
考试点:全等三角形的判定与性质.
知识点:本题考查等腰直角三角形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,垂直的性质的运用,平行线的性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.