若二阶常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=（C1+C2x）ex，则非齐次方程y″+ay′+by=x满足条件y（0）=2，y′（0）=0的解为y=______．
问题描述：
若二阶常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=（C1+C2x）ex，则非齐次方程y″+ay′+by=x满足条件y（0）=2，y′（0）=0的解为y=______．
答
因为常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0 的通解为
y=（C1+C2 x）ex，
故 r1=r2=1为其特征方程的重根，且其特征方程为
（r-1）2=r2-2r+1，
故 a=-2，b=1．
对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x，
设其特解为 y*=Ax+B，
代入y″-2y′+y=x 可得，
0-2A+（Ax+B）=x，
整理可得
（A-1）x+（B-2A）=0，
所以 A=1，B=2．
所以特解为 y*=x+2，
通解为 y=（C1+C2 x）ex +x+2．
将y（0）=2，y（0）=0 代入可得，
C1=0，C2=-1．
故所求特解为 y=-xex+x+2．
故答案为-xex+x+2．
答案解析：由齐次微分方程解的形式，求出其对应的特征方程，确定a、b的值；然后利用待定系数法求出非齐次方程的一个特解，并利用线性微分方程解的结构写出通解；最后利用初值条件确定系数，求出满足题意的特解．
考试点：二阶常系数齐次线性微分方程求解；微分方程的显式解、隐式解、通解和特解．
知识点：本题是一个中档型题目，考察了线性常微分方程的求解方法．题目的难度系数并不大，只是计算量较大．