高等数学微积分已知a为常实数,y为x的函数,求下面微分方程的解,y''(x)+2ay'(x)+y(x)=2,满足y(0)=0,y'(0)=2a.这里y'和y''分别是x的一阶导数和二阶导数.
问题描述：
高等数学微积分
已知a为常实数,y为x的函数,求下面微分方程的解,y''(x)+2ay'(x)+y(x)=2,满足y(0)=0,y'(0)=2a.这里y'和y''分别是x的一阶导数和二阶导数.
答
上面的回答的很正确，但有一处提问者得注意一下，那就是a^2-1不一定大于0，所以r1,r2可能是复数，所以在求r1,r2时必须另加讨论
答
y''+2ay'+y=2
y''+2ay'+(y-2)=0 (y-2)''=y'' (y-2)'=y'
(y-2)''+2a(y-2)'+(y-2)=0
特征方程
r^2+2ar+1=0
(r+a)^2=a^2-1
r1=-a+√(a^2-1) r2=-a-√(a^2-1)
通解
y-2=C1e^[-a+√(a^2-1)]x +C2e^[-a-√(a^2-1)]x
y(0)=0
C1+C2+2=0
y'(0)=C1[-a+√(a^2-1)]+C2[-a-√(a^2-1)]=2a
C1=-1
C2=-1
特解y=( -1) e^[-a+√(a^2-1)]x +(-1) [1/√(a^2-1) -1]e^[-a-√(a^2-1)]x +2