f(x)=nx(1-x)^n在区间[0,1]上的最大值为多少（n是自然数）f(x)=nx(1-x)^n在区间[0,1]上的最大值为（n是自然数）
问题描述：
f(x)=nx(1-x)^n在区间[0,1]上的最大值为多少（n是自然数）
f(x)=nx(1-x)^n在区间[0,1]上的最大值为（n是自然数）
答
求导fn'(x)=n(1-x)^(n-1)[1-x-nx]=0==>
x=1/[1+n],f(0)=f(1)=0==>
最大值M(n)=[n/(n+1)][1-1/(n+1)]^n==>
limM(n)=1/e.
答
求导fn'(x)=n*[(1-x)^(n-1)]*[1-x-nx]
因为 n*[(1-x)^(n-1)] ＞ 0,
所以在区间[0,1/(n+1)]上 fn'(x) ＞ 0
在区间[1/(n+1),1]上 fn'(x) ＜ 0
因此可以知道f(x) 先增后减,那么他的最大值就是：
f(1/(n+1)) = [n/(n+1)]*[n/(n+1)]^n