设A,B为二阶矩阵,A^2+B^2=0,证明：det(AB-BA)≤0
问题描述：
设A,B为二阶矩阵,A^2+B^2=0,证明：det(AB-BA)≤0
答
首先,矩阵必须是实的,对复矩阵而言结论一般不成立
1.若A和B的特征值全为实数,那么这些特征值必定都是零
若A为零则结论显然,否则存在实可逆阵P使得P^{-1}AP = [0 1; 0 0],设P^{-1}BP = [a b; c d],直接计算出P^{-1}(AB-BA)P即可
2.若A和B的特征值中存在虚数,不妨设A的特征值是x+iy和x-iy,其中x和y是实数,y非零
则存在实可逆阵P使得P^{-1}AP = [x y; -y x],再设P^{-1}BP = [a b; c d],直接计算出P^{-1}(AB-BA)P即可为什么“那么这些特征值必定都是零”？A^2和B^2的特征值都非负，但又是相反数，只能是零