y= cos(1/x)是否为周期函数,为何?

不是，∵若是周期函数
则cos(1/(x+T))=cos(1/x)
∴1/(x+T)=1/x+2kπ或1/(x+T)=-1/x+2kπ
不存在常数T满足上式，所以不是周期函数

y=cos(1/x)
假设是周期函数，设周期为T，则
cos(1/(x+T))=cos(1/x)
∴[1/(x+T)]=(1/x)+2kπ，或[1/(x+T)]+(1/x)=2kπ
即-T/[(x+T)x]=2kπ，或(2x+T)/[(x+T)x]=2kπ
T+2kπx2+2kπTx=0，或2x+T=2kπx2+2kπTx
T=-2kπx2/(1+2kπx)，或T=(2x-2kπx2)/(2kπx-1)
T都不是常数，
所以不存在一个常数T使得cos(1/(x+T))=cos(1/x)恒成立
所以不是周期函数
谢谢

因为可以看大，1/x没有哪个x可以是它的值为0，即cos(1/x)缺失了一个值，顾它不是周期函数。
另外根据周期函数的定义：
若是周期函数
则cos(1/(x+T))=cos(1/x)
即1/(x+T)=1/x+2kπ或1/(x+T)=-1/x+2kπ成立，但是无论如何也找不到这样的T使得上式成立。所以不是周期函数。

假设y=cos(1/x)是周期函数,则存在T>0,使得任取x
cos(1/x)=cos(1/(x+T))
则1/x=1/(x+T)+2kπ k∈Z
x+T=x+2kπx(x+T)
2kπx^2+2kπTx-T=0
很明显对于给定的k和T,最多存在两个x的值使上式成立,这与x的任意性矛盾.
故而y=cos(1/x)不是周期函数

假设是T是一个周期则当x取任意值时,cos(1/x)=cos[1/(x+T)]成立则1/x=1/(x+T)+2kπ或者1/x=-1/(x+T)+2kπ1/x=1/(x+T)+2kπ去分母x+T=x+2kπx(x+T)2kπx²+2kπTx-T=0则对于给定的k和T最多只有两个x使等式成立而不...

当x>1时，1/xx从1趋近无穷时，1/x从1趋近0
函数值则从cos（1）趋近cos0
也就是y从cos（1）即cos（57.3度）无限趋近1而且一直是递增的，所以不可能是周期函数