如图所示,△ABC中,∠ACB的平分线交AB于点D,过点D作BC的平行线交AC于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.求证:(1)△DCF是直角三角形;(2)DE=EF.

问题描述:

如图所示,△ABC中,∠ACB的平分线交AB于点D,过点D作BC的平行线交AC于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
求证:(1)△DCF是直角三角形;(2)DE=EF.

证明:(1)∵DC平分∠ACB,CF平分∠ACM,
∴∠ACD=

1
2
∠ACB,∠ACF=
1
2
∠ACM,
∴∠DCF=∠ACD+∠ACF=
1
2
(∠ACB+∠ACM)=90°,
∴△DCF是直角三角形;
(2)∵DF∥BC,
∴∠EDC=∠BCD,∠F=∠FCM,
∵DC平分∠ACB,CF平分∠ACM,
∴∠ACD=∠BCD,∠ACF=∠FCM,
∴∠EDC=∠ACD,∠F=∠ACF,
∴ED=EC,EC=EF,
∴DE=EF.
答案解析:(1)由DC平分∠ACB,CF平分∠ACM,根据角平分线的定义,可求得∠DCF=90°,即△DCF是直角三角形;
(2)由DF∥BC,DC平分∠ACB,CF平分∠ACM,易得△CDE与△CEF是等腰三角形,继而证得结论.
考试点:等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.
知识点:此题考查了等腰三角形的判定与性质以及角平分线的定义.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.