设函数f(x)在x0处有三阶导数,且f"(x0)=0,f'''(x0)≠0,试证明点(x0,f(x0))必为拐点

问题描述:

设函数f(x)在x0处有三阶导数,且f"(x0)=0,f'''(x0)≠0,试证明点(x0,f(x0))必为拐点

f(x)在x0三阶可导,因此二阶导函数f"(x)在x0的附近连续.
考虑二阶导函数f"(x),其导数f'''(xo)≠0,因此在x0的附近单调;而f''(xo)=0,因此在x0的两侧二阶导函数变号.由定义,此点为拐点.