高等代数—线性方程组
问题描述：
高等代数—线性方程组
求证：已知两向量组有相同的秩,且其中一组可以被另一组线性表出,证明：这两个向量组等价.
答
两个向量组A,B的极大线性无关组为a_1...a_r ; b_1...b_r;
且A可由B线性表出,则a_1...a_r可由b_1...b_r线性表出.
现在要证明b_1...b_r可以由a_1...a_r表出.
考虑a_1,a_2...a_r,b_i组成的向量组.
设a_j = ...+ u_ji * b_i + ...
则令a'_j = a_j - u_ji * b_i
a'_1 ...a'_r 可由 b_1...b_r-1,b_r+1...b_r表出
所以a'_1...a'_r线性相关.k_1*a'_1+...= 0存在非零解.
则 k_1 * (a_1 - u_1i * b_i) + ...
= k_1 * a_1 + ...+ k_r * a_r + (k_1*u_1i + ...) * b_i = 0 有非零解
因为a_1...a_r无关,所以易得(k_1*u_1i + ...) 不为0.
所以b_i可以被a_1...a_r线性表出.