如图,在平面直角坐标系中Rt△AOB≌Rt△CDA,且A(-1,0),B(0,2)抛物线y=ax2+ax-2经过点C. (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P、Q,使四边形ABPQ为

问题描述:

如图,在平面直角坐标系中Rt△AOB≌Rt△CDA,且A(-1,0),B(0,2)抛物线y=ax2+ax-2经过点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P、Q,使四边形ABPQ为正方形?若存在,求点P、Q的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)由Rt△AOB≌Rt△CDA,得OD=2+1=3,CD=1
∴C点坐标为(-3,1),
∴抛物线经过点C,
∴1=a(-3)2+a(-3)-2,
∴a=

1
2

∴抛物线的解析式为y=
1
2
x2+
1
2
x-2;
(2)在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P、Q,使四边形ABPQ是正方形.
以AB为边在AB的右侧作正方形ABPQ,过P作PE⊥OB于E,QG⊥x轴于G,可证△PBE≌△AQG≌△BAO,

∴PE=AG=BO=2,BE=QG=AO=1,
∴P点坐标为(2,1),Q点坐标为(1,-1).
由(1)抛物线y=
1
2
x2+
1
2
x-2,
当x=2时,y=1;当x=1时,y=-1.
∴P、Q在抛物线上.
故在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P(2,1)、Q(1,-1),使四边形ABPQ是正方形.