已知f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足xf′(x)-f(x)≥0,对任意正数a,b,若a>b,则必有(  )A. af(a)≤bf(b)B. bf(b)≤af(a)C. af(b)≤bf(a)D. bf(a)≤af(b)

问题描述:

已知f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足xf′(x)-f(x)≥0,对任意正数a,b,若a>b,则必有(  )
A. af(a)≤bf(b)
B. bf(b)≤af(a)
C. af(b)≤bf(a)
D. bf(a)≤af(b)

F(x)=

f(x)
x

可得F'(x)=
1
x2
[xf′(x)-f(x)],
又由xf′(x)-f(x)≥0,分2种情况讨论:
①xf′(x)-f(x)>0,所以 F'(x)>0即F(x)是增函数,
即当a>b>0时,F(a)>F(b),
f(b)
b
f(a)
a
,从而af(b)<bf(a);
②xf′(x)-f(x)=0,所以F(x)是常数函数,
f(b)
b
=
f(a)
a
,即af(b)=bf(a);
综合有af(b)≤bf(a);
故选C;
答案解析:令F(x)=
f(x)
x
,对其进行求导,根据xf′(x)-f(x)≥0,证明F(x)是增函数,利用单调性进行求解;
考试点:导数的乘法与除法法则.
知识点:本题考查函数的单调性和导数的关系,解题时要认真审题,注意导数的合理运用.